Fuente: Jeff Bigler, Physics 1: Mechanics in Plain English, edición octubre de 2025, pp. 146–151. Consultar el original (PDF). Traducción y adaptación desarrollada; se señalan las aclaraciones propias.
Objetivos de aprendizaje
Al finalizar esta sección, vas a poder:
- Usar el teorema de Pitágoras para encontrar un lado de un triángulo rectángulo.
- Aplicar seno, coseno y tangente para relacionar lados y ángulos.
- Descomponer un vector en sus componentes $x$ e $y$.
- Usar las funciones trigonométricas inversas para calcular ángulos.
El triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo con ángulo $\theta$:
- Hipotenusa ($h$): el lado más largo, opuesto al ángulo recto.
- Opuesto ($o$): el lado opuesto al ángulo $\theta$.
- Adyacente ($a$): el lado que forma el ángulo $\theta$ con la hipotenusa (y no es la hipotenusa).
Las funciones trigonométricas
$$\sin\theta = \frac{o}{h} \qquad \cos\theta = \frac{a}{h} \qquad \tan\theta = \frac{o}{a} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$Mnemotecnia: SOH — CAH — TOA
| Función | Relación | Regla |
|---|---|---|
| Seno | Opuesto / Hipotenusa | SOH |
| Coseno | Adyacente / Hipotenusa | CAH |
| Tangente | Opuesto / Adyacente | TOA |
Teorema de Pitágoras
$$h^2 = o^2 + a^2 \implies h = \sqrt{o^2 + a^2}$$Descomposición de vectores
El uso más frecuente de la trigonometría en física es descomponer un vector en sus componentes horizontal ($x$) y vertical ($y$).
Si un vector tiene módulo $h$ e inclinación $\theta$ respecto a la horizontal:
$$\boxed{v_x = h \cos\theta} \qquad \boxed{v_y = h \sin\theta}$$Memorizá estas dos relaciones — las vas a usar en casi todos los problemas de fuerzas, tiro oblicuo y más.
Ejemplo — Cañón:
Un proyectil sale con $v = 40\ \text{m/s}$ a $30°$ sobre la horizontal.
$$v_x = 40 \cos(30°) = 40 \times 0{,}866 = 34{,}6\ \text{m/s}$$$$v_{0y} = 40 \sin(30°) = 40 \times 0{,}5 = 20{,}0\ \text{m/s}$$
Funciones inversas — encontrar ángulos
Si conocés los lados y necesitás el ángulo, usás las funciones inversas:
$$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{o}{h}\right) \qquad \theta = \cos^{-1}\left(\frac{a}{h}\right) \qquad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{o}{a}\right)$$En la calculadora: botón sin⁻¹, cos⁻¹ o tan⁻¹ (a veces llamado arcsin, arccos, arctan).
Ejemplo: un triángulo tiene lado opuesto 5 y hipotenusa 13. ¿Cuál es el ángulo?
$$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) = \sin^{-1}(0{,}385) \approx 22{,}6°$$Ángulos especiales
Conviene memorizar estos valores:
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $0{,}5$ | $0{,}866$ | $0{,}577$ |
| $45°$ | $0{,}707$ | $0{,}707$ | $1$ |
| $60°$ | $0{,}866$ | $0{,}5$ | $1{,}732$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | indefinido |
Calculadora — grados vs. radianes
Asegurate de que tu calculadora esté en modo grados (DEG) para todos los problemas de este curso que usen ángulos en grados. Si el resultado parece absurdo, verificá el modo.
Por qué el ángulo determina una razón
En triángulos rectángulos semejantes, los lados correspondientes cambian por el mismo factor. Por eso el cociente entre cateto opuesto e hipotenusa no depende del tamaño del triángulo: depende del ángulo. Esa razón define el seno; de manera análoga se definen coseno y tangente.
Elegir el ángulo de referencia importa. Si cambiás de un ángulo agudo al otro, se intercambian opuesto y adyacente, pero la hipotenusa sigue siendo el lado frente al ángulo recto. Las relaciones se pueden obtener de una tabla o de la calculadora.
Invertir una función no es tomar el recíproco
Si $\sin\theta=5/13$, el arco seno busca un ángulo cuyo seno sea esa razón:
$$\theta=\arcsin(5/13)\approx22{,}62^\circ$$La tecla $\sin^{-1}$ representa esta función inversa, no $1/\sin\theta$. El recíproco es otra función. En un triángulo rectángulo, el otro ángulo agudo es $90^\circ-\theta$.
En estas descomposiciones el ángulo se mide desde el eje horizontal positivo; si el enunciado lo mide desde otro eje, primero identificá qué componente es adyacente. En otros cuadrantes, seno y coseno incorporan el signo correcto de las componentes.
Ejercicios del original
Para los ejercicios 1–5, $C$ es la hipotenusa, $A$ el cateto adyacente a $\theta$ y $B$ el opuesto:
- Si $A=5$ y $C=13$, calculá $B$. Comprobación: $B=12$.
- Con esos mismos datos, calculá $\sin\theta$. Comprobación: $12/13$.
- Si $C=20$ y $\theta=50^\circ$, calculá ambos catetos. Comprobación: $A\approx12{,}86$ y $B\approx15{,}32$.
- Si $A=100$ y $C=150$, calculá $\theta$. Comprobación: aproximadamente $48{,}19^\circ$.
- Si $B=100$ y $C=150$, calculá $\theta$. Comprobación: aproximadamente $41{,}81^\circ$.
- Una pelota está a 10 m del pie de una elevación de 2,5 m. Calculá el ángulo de la línea que une su posición con la cima: $\arctan(2{,}5/10)\approx14{,}04^\circ$. Aclaración de esta adaptación: el original presenta ese valor como un ángulo mínimo de lanzamiento de golf; una trayectoria real es curva y para determinar el ángulo de lanzamiento también se necesita la rapidez inicial u otras condiciones. Aquí se resuelve el problema geométrico que esos dos datos permiten plantear.
- Una fuerza de 80 N forma $40^\circ$ sobre la horizontal. Hallá su componente horizontal. Comprobación: $F_x=80\cos40^\circ\approx61{,}28$ N.
Mostrá qué razón se usa y cómo se despeja la incógnita, en lugar de escribir únicamente el resultado de una tecla.
Actividades propias — Para pensar
- Un vector de 50 N forma un ángulo de 37° con la horizontal. ¿Cuáles son sus componentes horizontal y vertical?
- Las componentes de un vector son $v_x = 6\ \text{m/s}$ y $v_y = 8\ \text{m/s}$. ¿Cuál es su módulo? ¿Cuál es el ángulo que forma con la horizontal?
- ¿Por qué en el tiro oblicuo separamos el movimiento en componente horizontal y vertical?
Adaptado de Jeff Bigler — Physics 1: Mechanics in Plain English, licencia CC BY-NC-SA 4.0. Traducción y adaptación: Prof. Ing. Luciano Lamaita, 2026.