Fuente: Jeff Bigler, Physics 1: Mechanics in Plain English, edición octubre de 2025, pp. 166–170. Consultar el original (PDF).
No hay una única operación entre vectores
El original distingue producto escalar, producto vectorial y producto tensorial. Producen objetos diferentes y no pueden intercambiarse. En estas notas se desarrollan los dos primeros; el tensorial se menciona como una operación de nivel más avanzado, que combina componentes y produce un tensor de segundo orden.
Multiplicar por un escalar
Si $\vec B=k\vec A$, su módulo es $|k|\,|\vec A|$. Si $k>0$, conserva el sentido; si $k<0$, lo invierte; si $k=0$, el resultado es el vector cero, que no tiene una dirección determinada.
En un movimiento de velocidad constante, $\Delta\vec x=\vec v\Delta t$. Para un intervalo positivo, el desplazamiento tiene el sentido de la velocidad. En un resorte ideal, $\vec F_s=-k\vec x$: el signo negativo expresa que la fuerza recuperadora se opone al desplazamiento respecto del equilibrio.
Producto escalar
$$\vec A\cdot\vec B=AB\cos\theta$$Aquí $A$ y $B$ son módulos y $\theta$ es el ángulo entre los vectores. El resultado es un escalar y tiene las unidades del producto de las magnitudes. Para vectores perpendiculares es cero; con ángulo obtuso es negativo.
El trabajo de una fuerza constante es:
$$W=\vec F\cdot\Delta\vec x=F\,|\Delta\vec x|\cos\theta$$El producto selecciona la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. No corresponde multiplicar módulos sin considerar el ángulo, salvo que los vectores tengan la relación adecuada.
Producto vectorial
El resultado $\vec A\times\vec B$ es un vector perpendicular al plano de ambos. Su módulo es:
$$|\vec A\times\vec B|=AB\sin\theta$$El ángulo se toma entre 0° y 180°. Si los vectores son paralelos o antiparalelos, el producto es cero. Para determinar el sentido, orientá los dedos de la mano derecha desde el primer vector hacia el segundo por el ángulo menor: el pulgar indica el sentido del resultado.
El orden importa:
$$\vec B\times\vec A=-(\vec A\times\vec B)$$En un dibujo plano, un punto dentro de un círculo representa una flecha que sale de la hoja; una cruz, una flecha que entra. Los signos recuerdan la punta y la cola de una flecha vista de frente.
Torque
Para una fuerza aplicada en un punto cuyo vector de posición respecto del eje u origen es $\vec r$:
$$\vec\tau=\vec r\times\vec F,\qquad |\vec\tau|=rF\sin\theta$$
El ejemplo de una llave ilustra que una fuerza perpendicular a la llave produce el módulo $rF$. Una fuerza paralela no produce ese torque. El punto de aplicación y el orden del producto importan; por eso no basta con conocer solamente el módulo de la fuerza.
Ejercicio del original
En la p. 170, $\vec A$ tiene módulo 18 y forma 70° por encima de $\vec B$, que tiene módulo 15 y apunta horizontalmente a la derecha. Se piden ambos productos:
$$\vec A\cdot\vec B=18(15)\cos70^\circ\approx92{,}35$$$$|\vec A\times\vec B|=18(15)\sin70^\circ\approx253{,}72$$Para $\vec A\times\vec B$, la rotación desde A hacia B en el dibujo es horaria: el resultado entra en la hoja. Para $\vec B\times\vec A$, sale. La figura no da unidades para esos módulos; si las magnitudes tuvieran unidades, el producto también las tendría.
Aclaración de esta adaptación: se distingue el vector torque de su módulo, y se explicita que un escalar negativo invierte el sentido. Los juegos de palabras en inglés de la p. 169 se omiten para concentrar la lectura en las operaciones físicas.
Traducción y adaptación desarrollada del original de Jeff Bigler. Se reorganiza el texto para lectura web y se identifican las aclaraciones y ejercicios propios. Original y adaptación: CC BY-NC-SA 4.0. Adaptación para el sitio de Prof. Ing. Luciano Lamaita.